Palladio's verhoudingen

Het is duidelijk dat zijn aantekeningen over de proportie niet uit de lucht gegrepen kunnen zijn, maar veleer stilzwijgend op algemeen aanvaardbare wiskundige regels moeten berusten.
Palladio geeft algemene regels voor de verhoudingen van de hoogte van de vertrekken ten opzichte van hun lenge en breedte, met andere woorden, voor de onderlinge verhoudingen van de drie dimenties die samen de vorm van een ruimte bepalen. Voordat hij nader op dit belangrijke onderwerp ingaat, geeft hij de naar zijn opvatting mooste verhoudingen tussen lengte en breedte van vertrekken, dat wil zeggen dat hij zich bepertkt tot twee dimenties.
Zeven vormen worden door hem aanbevolen voor vertrekken, in deze volgorde:

(1) rond,
(2) vierkant,
(3) de diagonaal van het vierkant als een lengre van het vertrek,
(4) een vierkant en een derde, dat wil zeggen 3:4,
(5) een vierkant en een half, dat wil zeggen 2:3
(6) een vierkant en twee derde, dat wil zeggen 3:5
(7) twee vierkanten, ofwerl 1:2

Met uitzondering van (3) zijn het alle enkelvoudige rationele verhoudingen bestaande uit hele getallen.
De diagonaal van het vierkant staat echter tot de zijde als √2:1. Met deze door hem voor vertrekken aanbevolen vormen treed Palladio in de voersporen van zijn voorgangers. Soortgelijke lijsten van voorbeeldige vormen voor vertrekken werden door Alberti en Serlio opgesteld, die beiden de irrationele lengre van de diagonaal van het vierkant noemen, terwijl Palladio, met zijn gebruikelijke terughoudendheid, aan dit punt voorbij gaat.
Dit irrationele getal was rechtstreeks uit Vitruvius afkomstig, bij wie het voorkomt in een kader van een modulair systeem dat voor het overige uitgaat van consumensurabele verhoudingen.
We moeten er nogmaals op wijzen dat Palladio's opvatting van de architectuur, net als in feite die van alle renaissance-architecten, gebaseerd op de commensurabiliteit (het onderling meetbaar zijn) van verhoudingen. Hij drukte dit als volgt uit:
"... in alle bouwwerken moeten de delen met elkaar overeenstemmen, en dusdanige proporties hebben dat elke afzonderlijke maat kan dienen om het geheel en evenzeer alle overige delen te meten".

Zijn eerste voorbeeld: stel je een ruimte voor van 6 x 12 voet, dan is zijn hoogte 9 voet. Tweede voorbeeld: een ruimte meet 4 x 9 voet en dan is zij 6 voet hoog. Derde voorbeeld: een ruimte meet wederom 6 x 12 voet, maar de hoogte is ditmaal 8 voet.

Het eerste voorbeeld is rekenkundige gemiddelde, het tweede voorbeeld is het meetkundige gemiddelde en het derde voorbeeld het harmonische gemiddelde.

1   b - a = c - b    ofwel   2 : 3 : 4 
 
2   a : b = b : c    ofwel   4 : 6 : 9 

3   b - a = c - b    ofwel   8 - 6 = 12 - 8
        a         c                    6         12

Bij het harmonische gemiddelde is het zo dat bij de verhouding 6 : 8 : 12 het middelste getal 1/3 groter is dan 6 en 1/3 kleiner is dan 12 ( zie 3).